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三逻辑系统的基本概念与命题 A 原子（第1页）

三、逻辑系统的基本概念与命题A。原子

原子是逻辑系统方面的对象，不是逻辑方面的对象。逻辑方面的对象是必然，逻辑系统不过是利用某种原子以为表示必然的工具而已。事实上本书第三部利用“类”“关系”“命题”为逻辑系统的原子。除此之外，别的原子也可以，例如“论域”（universeofdiscourse），但在此处我们可以不必提出讨论。

1。类。此处所谓类，即普通的类，如“人类，桌子类，山类，水类……”。类有类的概念，例如人类有“人”概念；类大都有类的分子，例如“人类有张三、李四……”。类与属性不同，因为它注重它的分子；它与集体不同，因为每一分子均能分别地为那一类的概念所形容。“类”的问题，或关于类的问题不少，可是为逻辑系统的原子的类有以下诸特点。兹特分别讨论。

a。在做逻辑系统原子的类中有两特别的类，一为零类，一为全类。零类没有分子，所有的分子都是全类的分子。普通以“0”代表零类，以“1”代表全类。在本篇一章A节3段所举的系统干部通式中，第五基本命题函量如下：

如果我们把a、b、c等等当作类，则z就代表零类，而这个基本命题说“零类或a等于a类”。这命题等于说“零类包含在任何类之中”，因为a类在此处代表任何类，即零类与全类，a类亦代表之。兹以图表示之如下。

此图表示零类既没有分子，则或是零类或是a类的分子不过是a类的分子而已，所以零类包含在任何类之中。

b。同在一系统通式中，第六基本命题函量如下：

如果我们把a、b、c等等解作类，则U就代表全类。这个基本命题说“全类与a类等于a类”。（“与”字有“既……又”的意思，“全类与a类”等于“既是全类又是a类”。）这命题等于说“任何类均包含在全类之中”。a类在此处也代表任何类，即零类与全类亦代表之。兹以图表示之如下：

此图表示所有的分子既都是全类的分子，则在全类之外的a无分子。那就是说，如果a类有分子，a类的分子都是全类的分子，那也就是a类包含在全类之中。

这两类的用处非常之大。我们可以利用它们以定非a类或非b类的意义。如果我们利用它们（同时利用“=”等号），我们可以说有某类，或无某类；某类有分子，某类无分子；例如“a=1”或“a=0”。这两类又彼此相反，那就是说“非0”即“l”，“非1”即“0”。总而言之，以此两类为工具，逻辑方面的推论变化等等都可以发生。

c。类有层次问题。如果我们以经验中的个体，如这张桌子、那张椅子等为分子，我们可以得一以个体为分子的类。如果我们把各类集起来再为分类，我们可以得一以类为分子的类。那就是说，我们可以有个体的类，“类”的类，“类的类”的类，等等。这许多的类的层次不同不能相混，如果相混就有毛病发生。现在要表示层次不能不分的理由。

设有以下命题：

“凡不是它们自己的分子之一的类的总类是那总类的分子之一。”我们知道人类不是一个人，桌子类不是一张桌子等等，这些类都不是它自己的分子。把这样的类都集起来成一类名之为甲类，以上命题说甲类是它自己的分子之一。这样一句话表面上看起来似乎没有什么问题，可是层次不分清楚就有毛病。兹以容易明白起见，特备以下图表。A是a1a2a3…an…分子的类，B是b1b2b3…bn…分子的类，C是…分子的类，等等。A类不是a1，a2，a3…an…中之一，B类不是b1，b2，b3…bn…之一，C类也不是c1，…之一。把A，B，…集起来成为甲类如下图：

以上的命题说甲类是它的分子A，B，…之一。如果它是的，则它或者是A，或者是B，或者是…但A，B，…既都不是它们的分子之一，则甲类也不是它的分子之一。那就是说，它不是A，不是B，不是…所以，如果甲是它的分子之一，则它不是它的分子之一。反过来也有同样的情形：如果甲不是它的分子之一，则它就是它的分子之一。这岂不是矛盾吗？在此处我们要注意，以上的情形实在是根据于甲与A，B，…相混。甲与A，B，…虽同为类，而层次不同，不能相混；相混之后，就有毛病发生。

d。类与命题。习于传统逻辑的人或者以为类比命题“根本”，因为我们可以把命题分析为类与类的关系。命题可以分析到个体与类的关系，或类与类的关系，但不能使我们说类比命题“根本”。“根本”与“不根本”有系统为背景。如果在系统之内，命题是由类产生的，则类比命题根本；可是，如果在一系统之内，类是由命题产生的，则命题比类根本。在Boic，类比命题根本；在P。M。，命题比类根本。在第三部我们已经表示过类可以由命题产生。

但是有系统范围以外的理由使我们先命题而后类，别的不说，事实上类与类的关系的推论还是根据于命题与命题的推论。

2。关系。此处所要讨论的关系是普遍的关系，不仅是以之为一系统的运算或关系的几种关系，而且是以之为系统的原子的关系。但从系统的原子这一方面看来，我们讨论关系的时候，不必提出关于关系的各种各色的情形，我们仅谈到关系的推论质就够了。此处所注重的推论质仅有两种：一曰对称质，一曰传递质。从对称方面着想，可以有对称、非对称及反对称；从传递方面着想，可以有传递、非传递及反传递。两质的结合，可以有九种不同的关系。

a。对称的传递的关系。在此项下，我们可以举“相同”与“相等”两关系为例：

（一）如果甲与乙相同，乙与甲也相同；如果甲与乙相等，乙与甲也相等。此之谓对称。

（二）如果甲与乙相同，乙与丙相同，则甲与丙相同；如果甲与乙相等，乙与丙相等，则甲与丙相等。此之谓传递。相同与相等之能传递与否，要看它们是否完全的绝对的相同与相等。相似的“相同”与差不多的“相等”没有传递质。

b。对称的非传递的关系。在此项下可举不相同，或不相等，或相似等关系。

（一）如果甲与乙相似，乙与甲也相似；甲与乙不相同，乙与甲也不相同。此之谓对称。

（二）如果甲与乙相似，乙与丙相似，甲与丙不必相似；甲与乙不相同，乙与丙不相同，甲与丙不必不相同。此之谓非传递。

c。对称的反传递的关系。如果在一条直线上，甲、乙、丙，有相傍的关系，则：

（一）如果甲在乙傍边，乙也在甲傍边。此所谓对称。

（二）如果甲在乙傍边，乙在丙傍边，则甲一定不在丙傍边。此所谓反传递。b条的例可以传递而不必传递，本条的例“一定”不能传递。

d。非对称的传递的关系。在此项下，我们可举英文中的“brother”或“sister”为例。

（一）如果甲是乙的brother，乙可以是而不必是甲的brother。此之谓非对称。

（二）如果甲是乙的brother，乙是丙的brother，则甲是丙的brother。可见这关系是传递的关系。

e。非对称的非传递的关系。这可以说是一极贫于推论质的关系。在此项下可举“好朋友”与“认识”两关系。

（一）如果甲是乙的“好朋友”，乙可以是而不必是甲的好朋友；如果甲认识乙，乙可以认识而不必认识甲。