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第9讲 贝叶斯推理的结果有时与直觉大相径庭② 蒙蒂霍尔问题与三个囚犯的问题（第2页）

很多文献都认为想法2是正确的，并对此进行了如下解释：选择者自身的概率不会发生变化，而非选择者那一方的概率会发生变化。在网上，也经常会看到类似下面这样的试图说服读者的说明。

现在，假设你从海量的彩票中选出1张。之后，主持人在剩余的所有彩票中只选出1张留下，剩下的彩票全部销毁，并告诉你：刚才撕碎的彩票中没有头奖。这时，你是应该改选主持人留下的那1张彩票，还是继续坚持自己最初选择的那张彩票不变呢？

在这种情况下，大多数人会毫不犹豫地认为“改选主持人留下的那1张胜算更大一些”。这是因为，在最初自己选择那1张彩票的时候，这张彩票为头奖的概率非常低；另一方面，头奖在主持人手中剩余的海量彩票之中的概率具有压倒性优势。而现在，主持人手中所有不是头奖的彩票都被销毁了，因此可以推算出剩下的那1张彩票是头奖的可能性非常大。

如果按照这个理由来思考的话，那么因获得信息而发生概率变化的，其实并不是你选择的一方，而是你未选择的那一方。

乍一听似乎很有道理，但笔者顺着这个思路来解决蒙蒂霍尔问题时，却发现行不通。这是因为，该案例可以理解为“将帘子的数量增加到极大值”之后的模型，这与原本在三个帘子之中选择其一的问题是完全不同的类别。当然，以上解释只是打比方而已，不能算是科学的讨论。不过，这里提到的“概率”本身就是主观性的概念，而基于传统科学依据的“正确答案”根本就是不存在的。这是因为，在你选出某1张彩票的时刻，它是不是头奖就已经是固定不变的事实了，后来发生变化的只是“你的主观推测值”。既然是主观的东西，那么答案自然不止一个了。

下面，我们用主观概率方面的代表性理论——贝叶斯推理，来探讨这个问题。

9-5通过贝叶斯推理推导出矛盾

下面，我们试着用贝叶斯推理来探讨一下这一类问题。这几个案例具有共性，我们选择其中的蒙蒂霍尔问题来进行具体分析。

首先，设定类别和先验概率。

用A、B、C分别来表示“A帘后面藏着汽车”、“B帘后面藏着汽车”、“C帘后面藏着汽车”这三种情况。最终结果肯定是这三种情况之一，因此可以认为：共有三种可能性。那么，可以将这三种情况先验概率均设为13，各自相等，如图表9-1所示。

图表9-1根据理由不充分原理得到的先验分布

现在的问题是，之后该如何设定条件概率。在你选择了A帘的时刻，就必须对于主持人一会儿将打开B帘还是C帘的问题设定条件概率，设定的标准如下所示。

条件概率的设定

如果A帘后面藏有汽车的话，那么主持人打开B帘和C帘的概率各为12。如果B帘后面藏有汽车的话，那么主持人打开C帘的概率为1。如果C帘后面藏有汽车的话，那么主持人打开B帘的概率为1。

在以上设定的背景下，我们将打开B帘记录为“开B”，将打开C帘记录为“开C”，导入条件概率之后，共有4种可能性，如图表9-2所示。

图表9-2条件概率的设定

译者按

图中“B帘且开C”意思是，已选择A帘的游戏者头脑中预想下一步主持人会“开C”（主持人知道B帘中有汽车且只会打开后面没有汽车的帘子），本图其他说明含义同此。

之后，通过主持人打开B帘的行为（开B），我们得知B帘后面并没有汽车。也就是说，因为不需要再打开C帘，所以“选择A帘且开C”和“选择B帘且开C”的两种可能性被排除掉。那么，表示剩余可能性的图表便如图表9-3所示。

图表9-3排除不可能发生的情况

根据上图，通过标准化条件对后验概率进行求解，如下所示：

（是A帘的后验概率）：（是C帘的后验概率）

＝13×12:13×1

＝1:2

＝13:23

至此，A帘后面藏有汽车的概率变为13，C帘后面藏有汽车的概率变为23。因此，如果你相信上述推算结果的话，就应该改变最初的选择。

对于三个囚犯的问题，也可以采用相同的思路进行贝叶斯推理，这样得出的结论是：艾伦被释放的概率为13，查尔斯被释放的概率为23。

对于上述结果，如果从哲学的角度进行解释的话，会给人以“因为主持人和看守并未提供与提问者相关的信息，所以提问者的后验概率不会发生变化”的感觉。然而，会出现这样的想法，是因为还没有摆脱“解释”或“印象”的影响。判断这种解释正确与否的确很困难，说到底，这还是一种哲学性解释。

9-6结论因模型的设定自身而发生变化

那么，在蒙蒂霍尔问题中，“应该改变最初的选择”这一结论，似乎已经是板上钉钉的结论了。但实际上，笔者并不这样认为。因为“A帘的后验概率为13，C帘的后验概率为23”的结果，毫无疑问依存于模型的设定。

当然，将A、B、C的先验概率都设定为13，这一点是没有异议的。问题在于，关于主持人会打开帘子的条件概率的设定存在恣意性。如果“恣意性”一词听起来略具批判性的话，也可以用“如何对模型进行设定”来表达。

在上一节的模型中，在A帘后面藏有汽车的情况下，我们设定：主持人以打开B帘或C帘的概率各占一半。但其实并没有证据表明，必须做出这样的判断。实际上，在C帘后面藏有汽车的情况下，主持人除了打开B帘之外，并没有其他的选择，所以他会立刻打开B帘。但是，在A帘后面藏有汽车的情况下，由于有B帘和C帘两个选项，主持人可能会有一瞬间的犹豫，来思考究竟要打开B帘和C帘哪一个为好。如果聪明的游戏参加者看穿了主持人那一瞬间的犹豫，便能以此为线索来推算汽车究竟藏在哪个帘子后面。而主持人为了避免这种情况的发生，可以采取“事先准备好根据汽车的所在位置来决定打开哪一个帘子，并预先进行练习”的策略。