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第9讲 贝叶斯推理的结果有时与直觉大相径庭② 蒙蒂霍尔问题与三个囚犯的问题（第1页）

第9讲贝叶斯推理的结果，有时与直觉大相径庭②蒙蒂霍尔问题与三个囚犯的问题

9-1贝叶斯逆概率的悖论

在第5讲到第8讲中，我们更倾向于用哲学的角度来解释，作为概率性推理的贝叶斯推理，究竟有着怎样的理论结构。在本讲中，我会和大家谈一谈围绕着贝叶斯推理的一些悖论问题。

贝叶斯推理只是运用了大家所熟知的概率公式（高中阶段学习的知识），并不能说是一种很离奇的方法。但是，所运用到的先验概率带有主观性，从这个层面来讲，可以说贝叶斯推理能够实现一种处于数学和哲学边界线上的理论。这样说的证据是：如果在特殊设定中运用贝叶斯推理的话，便会得出与我们的常识和直觉截然相反的结果，就如同悖论一般。

因此，在本讲中会介绍关于贝叶斯推理的两个悖论，希望可以帮助大家站在与逆向思维的角度，来理解贝叶斯推理的内涵。

9-2悖论①蒙蒂霍尔问题

关于贝叶斯推理的悖论，最出名的当属蒙蒂霍尔问题，以下是问题设定。

蒙蒂霍尔问题

面前有A、B、C三道帘子。其中一道帘子后面停着一辆轿车作为奖品。你需要在这三道帘子中任选一道，如果揭开帘子，后面有轿车的话，那么轿车就归你所有了。而当你选择了A帘之后，主持人会从剩下的两道帘子中，选择B帘打开，而B帘后面并没有轿车。这时，主持人会问你：“现在只剩下你所选的A帘和尚未打开的C帘这两种选择了，那么现在你要不要改变主意呢？”这时，你认为该不该改变最初的选择呢？

这个问题源于美国的一个让现场观众参加游戏的电视节目，节目主持人的名字叫作蒙蒂霍尔。这就是“蒙蒂霍尔问题”“蒙蒂霍尔悖论”得名的由来，这个理由着实令人感到有些意外。

实际上，这个问题的正确答案是：应该选择换帘子。理由是，在C帘后面停有轿车的概率比A帘大。

但是，很多人对于上述观点表示了异议。他们认为，既然已经打开了一道帘子，那么，轿车肯定停在剩下的两道帘子其中之一的后面，而轿车停在这两道帘子其中之一的后面的概率是相同的。因此不管最终选择哪个，回答正确的概率都不会变。事实上，在美国，关于这个问题的答案的讨论，确实引发过一阵**。

关于上述“正确答案”，我们稍后再作讲解。接下来，先为大家介绍另一个悖论。

9-3悖论②三个囚犯的问题

接下来要介绍的三个囚犯的问题，和蒙蒂霍尔问题有着不同的版本。

三个囚犯的问题

艾伦、伯纳德、查尔斯三个囚犯，他们的名字简称为A、B、C。所有人都知道，这三人中，有两人要被处死，剩下一人被释放，但不知道被释放的会是谁。这时，艾伦对看守说：“反正三个人中有两人要被处死，所以伯纳德和查尔斯中两个人中，至少有一个是要被处死的。即使你告诉我这两人中谁要被处死，对我来说也没什么益处。那么，能不能请你告诉我，究竟谁要被处死呢？”看守听后，同意了艾伦的看法，于是告诉他：伯纳德将要被处死。艾伦听了这话，心中窃喜。因为艾伦是这样考虑的：在什么情况都不了解的时候，我被释放的概率是13；但现在，我知道了伯纳德要被处死，那么我和查尔斯之中，如果一方被处死，另一方肯定会被释放。这样一来，我被释放的概率就上升到了12。

现在我们可以了解到，三个囚犯问题和蒙蒂霍尔问题具有相同的结构。艾伦相当于A帘，伯纳德相当于B帘，查尔斯相当于C帘，而将要被释放的人则对应藏在帘子后面的轿车。看守人告知艾伦，伯纳德会被处死这一消息，则对应主持人打开B帘之后没有轿车这一信息。而A帘后面有轿车，则对应为艾伦要被释放的信息。

之所以将三个囚犯的问题称为“悖论”，是因为艾伦的理由无法让大多数人信服。艾伦仅仅通过知道除自己之外的将要被处死的人的名字，他被释放的概率就得到提升，或者说被处死的概率降低，这总让人觉得有些奇怪。事实上，即使艾伦被告知，将被处死的人是查尔斯，结果也是一样的。也就是说，即使完全不知道查尔斯、伯纳德谁将被处死，艾伦也可以推断出自己被释放的概率是12。

在此需要提醒各位，蒙蒂霍尔问题与三个囚犯的问题有着十分紧密的联系。其共同点在于：如果对于其中一个答案存有异议，那么，就不得选择相信另一个答案。

9-4这两个问题的本质是相同的

这两个问题的关键点都在于：由于获得了一定信息而导致概率发生变化。之前，我们也一直将“概率因获得信息而发生变化”的各种案例作为贝叶斯推理的精华来进行解说，先验概率和后验概率就是其体现。另一方面，在这两个问题中的概率均因获得信息而发生了变化，这一点与大多数人的直觉是相反的。

大家都知道，在蒙蒂霍尔问题中，当游戏的参加者在选择A帘时，A帘后面藏着汽车的概率是13。因此，当主持人掀开B帘，且游戏参加者知道了B帘后没有汽车之后，那么自己先前选择的A帘后面有汽车的概率究竟是会发生变化，还是与之前的概率相同呢？以下列出了关于这个问题的两种想法：

想法1：因为汽车一定藏在A帘和C帘这两者之一的后面，所以概率也变为了两种可能性各占一半。因此，A帘后藏有汽车的概率从13上升到12。

想法2：即使知道了B帘后面没有汽车，A帘后面藏有汽车的概率仍然不会变化。因此，A帘后藏有汽车的概率仍然是13不变。而这同时意味着，C帘后藏有汽车的概率从13上升到了23。

多数人会选择上述两种想法中的前者，而二者区别的关键在于：究竟是A和C的概率同时发生变化，还是仅仅C的概率发生了变化。随着B的可能性被排除，那么理所当然地，A和C的概率至少有一个会发生变化（标准化条件），而问题是究竟是其中只有一个发生了变化，还是两者都发生了变化呢？

下面我们试着针对同样的问题，用三个囚犯的案例进行讨论。艾伦在向看守询问关于死刑的消息时，给出的理由是：反正伯纳德和查尔斯两个人中，总会有一个会被处死，所以即便告诉我被处死的人的名字，对我来说也没有什么好处”。这句话中的“对我来说也没有什么好处”，可以理解为“自己被处死的概率不会发生变化”。那么，我们在这个案例中也试着套用一下上述两个想法：

想法1：因为被释放的人肯定是A和C中的一人，所以概率也变成了二者各占一半。那么，A被释放的概率从13上升到12。

想法2：即使已知B将会被处死，但A被释放的概率仍然不会变化。因此，A被释放的概率仍是13。而这意味着，C被释放的概率从13上升到了23。

艾伦以想法2为依据，从看守那里打探到了消息，之后又套用了想法1。这样得到的结果让他兴奋不已。

至此大家应该已经理解：如果多数人在蒙蒂霍尔问题中选择了想法1的话，那么在三个囚犯问题中也会选择想法1，结果就会和艾伦的想法一样。相反，如果觉得三个囚犯问题中，艾伦高兴的理由很奇怪的话，就会选择想法2，那么在蒙蒂霍尔问题中，也不得不改变之前选择的帘子。