吞噬小说网

一数学是什么（第2页）

“数学是使用符号来研究‘关系’的科学。”

对于数学这种东西，读者大都曾有过这样的疑问，这有什么意思呢？这有什么用呢？本来它不过给你知道一些关系，知道从某种关系推演出别的关系来；而关系的表出大部分又只靠着符号，这自然不能具体地给出什么用场和什么意义了。

为了解释明白上面提出的定义，我想从数学中举些例子来讲，更便当些。

劈头我们就看“一加二等于三”。

在这一个短短的句子里，照句法上的说法，一共是五个词：“一”“二”“三”“加”“等于”。这五个词，前三个是一类，后两个又是一类。什么叫着“一”？什么叫着“二”？什么叫着“三”？这实在不容易解答。它们都是数，数是抽象的，不是吗？我们能够拿一个铜板、一支铅笔、一个墨水瓶给人家看，但我们拿不出“一”来，“一”是一个铜板、一支铅笔、一个墨水瓶，一个这样，一个那样，这些的共相。从这些东西我们认识出这共相，要自己保存，又要传给别人，不得不给它一个称呼，于是就叫它是“一”。我为什么叫“薰宇”，倘若你要问我，我回答不上来，我只能说，这只是一个符号，用了它让你们好叫喊，让你们在茶余酒后要和朋友们批评我、骂我时，说起来便当些，所以“薰宇”两个字是我的符号。同样地，“一”就是一个铜板、一支铅笔、一个墨水瓶……这些东西的共相的符号。这么一说，自然“二”和“三”也一样地只是符号。

至于“加”和“等于”在根源上要说它们只是符号，一样地也可以，不过无妨浮面一点说，它们是表示一种关系。所谓“一加二”是表示“一”和“二”这两个符号在这里的关系是相合；所谓“等于”是表示在它前后的两件东西在量上相同。所以归根到底“一加二等于三”只是三个符号和两个关系的联缀。

单只这么一个例子，似乎还不能够说得十分明白。再举别的例子吧，假定你是将代数学完了的，我们就可以从数的范围的逐渐扩大来说明。

在算术里我们用的只是1、2、3、4……这些数，最初跨进代数的门限，遇到a、b、c、x、y、z，总有些不惯常。你对于二加三等于五，并不惊奇，并不怀疑。对于两个加三个等于五个，也不惊奇，也不怀疑。但对于2a+3a=5a你却怔住了，常常觉得不安心，不知道你在干什么。其实呢，2a+3a=5a和2+3=5对于你的习惯说，不过更其符号的而已，有了这一个使用符号的进步，许多关系更来得简单普遍，不是吗？若是将2a+3a=5a具体化，认a是一只狗的符号，那么这关系所表示的便是两只狗碰到了三只狗成为五只狗；若a是一个鼻头的符号，那么，这关系所表示的便是两个鼻头添上三个鼻头一共就成五个鼻头。

再掉转一个方向来看，在算术中除法常常有除不尽的时候，比如3除2。遇着这样的场合，我们便有几种方法表示：

（1）2÷3=0。667弱

（2）2÷3=0。6余0。2

在算术里你知道从5减去3是2，但碰到要从3减去5，你就没法办，只好说一句“这不能够”。“不能够”？这是什么意思？我替你解释便是没有法子表示这个关系。但是到了代数里面，为着要探究一些更普遍的关系的缘故，不能不想一个方法来冲破这种困难。于是有些人便这样想，从3减去5为什么不能够呢？他们心口相问地，便这般回答，因为还差2的缘故。这一回答，好，关系就成立了，“从3减去5差2”。在这个当儿又用一个符号“-2”来表示“差2”，于是这关系就成为3-5=-2。这一来，真是“功不在禹下”。我们有了负数，一则可探讨它自身所含的一些关系，二则可以将我们所已得的一些关系更普遍化。

又如在乘法中，有时只是些相同的数在相乘，便给它一种符号，譬如a×a×a×a×a写成a5。这么一来，关于这一类的东西又有许多关系可发现了，例如：

an·am=an+m

（an）m=anm

…………

不但这样，这里的n和m还只是正整数，后来却扩张到负数和分数去而得出下面的符号：

这些符号的使用，是代数所给的便利，学过代数的人都已经知道的，我也不用再说了。

总结这些例子看来，除了使用符号和发现关系而外，数学实在没有别的什么花头。倘若你已学过平面三角，那么我相信你更容易承认这个话。所谓平面三角，不是只靠着几个什么正弦、余弦这类的符号来表[4]几个比，就去研究这些比的关系和三角形中的其他关系吗？

我说“数学是使用符号来研究‘关系’的科学”，你大约不至于再怀疑了。

在数学中，你可以碰到些实际的问题要你计算的，譬如三个十两五钱[5]一共是多少斤。但只是我们所已得的关系的具体化，换句话说，不过是一种应用。

也许你还有一个疑问，数学中的公式和定理固然只是一些“关系”的表出，但像定义那类的东西又怎样说法呢？我的回答是这样，那只是符号的规定。“（同一平面内）到一个定点距离相等的一个完全的曲线叫圆”，这是一个定义，但也只是“圆”这个符号的规定。

正正经经地说，数学只是这么一回事，但我仍然高兴说它是符号的游戏。所谓“游戏”自然不是开玩笑的意思。两个要好的朋友拿了球拍在球场上打网球，并没有什么争胜的要求，然而兴致淋漓，不忍释手，在这时他们得到一种满足，这就是使他们忘去一切的原因，这叫游戏。小孩子独自拿了两块石子在地上造房子，尽管大汗满脸，气喘不止，但仍然拼了全身的气力去做，这是游戏。至于为银盾而赛球，为锦标而练习赛跑，这便不是游戏了。还有为过得无聊，无可如何地约几个人打麻将、喝老酒，这也算不来游戏。就在这意味上，我说“数学是符号的游戏”。

自然，从这游戏中可有些收获——发现一些可以供人使用的关系。但符号越使用得多，所得的关系越不容易具体化来供人使用。踏到数学的领域的后部，真的，你只见到符号和关系，那些符号，那些关系，要你说个明白，就是马马虎虎地说，你也无法下手的。

到这一步，好了，罗素便说：

“数学是这样的一回事，弄它这种玩意儿的人也不知道自己究竟在干些什么。”

[1]其妙莫测：今作“奇妙莫测”。

[2]发达：今作“发展”。

[3]即包含两个或以上单位名称的数，如一元三角、一小时三十分等。

[4]表：今作“表示”。

[5]旧制一斤为十六两，一两为十钱。