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一数学是什么（第1页）

一、数学是什么

这里所要说明的“数学”这一个词，包含着算术、代数、几何、三角，等等在内。用英文名词来说，那就是Mathematics。它的定义，照平常的想法，非常简单而且非常明了，几乎已用不到再加说明。但真要说明，那却问题很多。且先举罗素在他所著的《神秘主义与逻辑及其他论文》提出的定义，真是叫人莫名其妙，好像在开玩笑的一般。他说：

“Mathematicsmaybedefiinwhieverknoearetalkingabout，wearesayingistrue．”

将这句话很粗疏地译出来，就是：

“数学是这样的一回事，弄它这种玩意儿的人也不知道自己究竟在干些什么。”

这样的定义，它的惝恍迷离，它的其妙莫测[1]，真是“不说还明白，一说反糊涂”。然而，要将已经发展到现时的数学的领域统括得完全，要将它的繁复灿烂的内容表示得活跃，好像除了这样也没有别的更好的话可说了。所以帕佩里茨、伊特尔森和路易·古度拉特几位先生对于数学所下的定义也是和这个气味相同的。

对于数学的一般的读者，这定义，恐怕反使得大家堕入五里雾中，因此拨云雾见青天的工作似乎少不来了。罗素所下的定义，它的价值在什么地方呢？它所指示的是什么呢？要回答这些问题，还是用数学的其他的定义来相比较更容易明白。

在希腊，亚里士多德那个时代，不用说，数学的发达[2]还很幼稚，领域也极狭小，所以数学的定义只需说它是一种“计量的科学”，已很可使人心满意足了。可不是吗？这个定义，初学数学的人是极容易明白而且能够满足的。他们解四则问题、学复名数[3]的计算，再进到比例、利息，无一件不是在计算量。就是学到代数、几何、三角，也还不容易发现这个定义的破绽。然而仔细一想，它实在有些不妥帖。第一，什么叫作量，虽则我们可以常识来解释，但真要将它的内涵弄个明白，也不容易。因此用它来解释别的名词，依然不能将那名词的概念明了地表出。第二，就是照常识来解释量，所谓计量的科学这个谓语也不能够就明确地划定数学的领域。像测量、统计这些科学，虽则它们各有特殊的目的，它们也只是一种计量。由此可以知道，单用“计量的科学”这一个谓语联系到数学而成一个数学的定义，未免广泛了一点。

若进一步去探究，这个定义的欠缺还不止这两点，所以孔德就加以修改而说：“数学是间接测量的科学。”照前面的定义，数学是计量的科学，那么必定要有量才有可计算的，但它所计的量是用什么手段得来的呢？用了一支尺就可以量一幅布有几尺几寸宽，有几丈几尺长；用了一杆秤就可以量一袋米有几斤几两重，这自然是可以直接办到的。但若行星轨道的广狭、行星自己的体积，或是很小的分子的体积，这些就不是人力所能直接测定的，然而由数学的方法可以间接将它们计算出来。因此，孔德所下的这个定义，虽则不能将前一个定义的缺点全然补正，但总是较进一步了。

孔德究竟是19世纪前半期的人物，虽则他是一个不可多得的哲学家和数学家，但在他的时代，数学的领域远不及现在的广阔，如群论、位置分析、射影几何、数论，以及逻辑代数等，这些数学的支流的发展，都是他以后的事。而这些支流和量或测量实在没甚关系。即如笛沙格所证明的一个极有兴味的定理：

“两三角形的顶点若在集交于一点的三直线上，则它们的相应边的交点就在一条直线上。”

这个定理的证明，就只用到位置的关系而和量毫不相干。数学的这种进展，自然是轻轻巧巧地便将孔德所给的定义攻破了。

到了1870年，皮尔士就另外给数学下了一个这样的定义：

“数学是产生‘必要的’结论的科学。”

不用说，这个定义比以前的都广泛得多，它已离开了数、量、测量，等等这些名词。我们知道，数学的基础是建筑在几个所谓公理上面的。从方法上说，不过由这几个公理出发，逐渐演绎出去而组成一个秩序整然的系统。所谓公式、定理，只是这演绎所得的结论。

照这般说法，皮尔士的定义可以算得完全无缺吗？

不！依了几个基本的公理，照逻辑的法则演绎出的结论，只是“必然的”，若说是“必要”，那就很可怀疑。我们若要问怎样的结论才是必要的，这岂不是很难回答吗？

更进一步说，现在的数学领域里面，固然大部分还是采用着老法门，但是像皮亚诺、布尔和罗素这些先生们，却又走着一条相反的途径，他们要掉一个方向对于数学的基础去下寻根问底的功夫。

于是，这个新鲜的定义又免不了摇动。

关于这定义的改正，我们可以举出肯普的来看，他说：

“数学是一种这样的科学，我们用了它来研究思想的题材的性质的。而这里所说的思想，是归依到含着相异和相同、个别和复合的一个数的概念上面。”

这个定义，实在太严肃太文气了，而且意味也有点含混。在肯普以后，博歇把它改变了一下，便这样说：

“倘若我们有某一群的事件同着某一群的关系，而我们所要研究的问题，又单只是这些事件是否适合于这些关系，这种研究便称为数学。”

在这个定义中，有一点最值得注意，博歇提出了“关系”这一个词来解释数学，它并不用什么数咧、量咧这些家伙，因此很巧妙地将数学的范围扩张到“计算”以外。

假如我们只照惯用的意义来解释“计算”，那么，到了现在，数学中有些部分确实并不是和计算有什么因缘。

也就因了这个缘故，我喜欢用“数学”这个词来译Mathematics，而不喜欢用“算学”。虽则“数”字也还不免有些语病，但似乎比“算”字来得轻些。

倘使我们再追寻一番，我们还可以发现博歇的定义也并不是“悬诸国门不能增损一字”的。不过这种功夫越来越细微，也不容易理解。而我这篇东西不过想给数学的一般读者一点数学的概念，所以不再往里面穷追了。

将这个定义来和罗素所下的比较，虽然已距离较近，但总还是旨趣悬殊。那么，罗素的定义果真只是开玩笑吗？

我是很愿意承受罗素的定义的，为了要将它说得明白些，也就是要将数学的定义——性质——说得明白些，我想这样说：

“数学只是一种符号的游戏。”

假如，有人觉得这样太轻佻了一点，严严正正的科学怎么好说它是“游戏”，那么，就这般说也可以：