吞噬小说网

三（第2页）

这两种的基础原是建筑在记数的进位法上面，当然要有些面目不同，但也不过面目不同而已。且举几例在下面，来结束这一篇玩意儿。

（1）四则中数字计算问题：例如“有二位数，个位数字同十位数字的和是六，若从这数减十八，所得的数，恰是把原数的个位数字同十位数字对调成的，求原数”。

解这一种题目的基本原理有两个：

（a）两位数和它的两数字对调后所成的数的和，等于它的两数字和的“11”倍。如83加38得121，便是它的两数字8同3的和11的“11”倍。

（b）两位数和它的两数字对调后所成的数的差，等于它的两数字差的“9”倍。如83减去38得45，便是它的两数字8同3的差5的“9”倍。

运用这第二个原理到上面所举的例题。因为从原数减18所得的数恰是把原数的个位数字同十位数字对调成的，可知原数和两数字对调后所成的数的差为18，而原数的两数字的差为18÷9=2。题上又说原数的两数字的和为6，应用和差算的法则便得：

（6+2）÷2=4……十位数字，（6-2）÷2=2……个位数字，而原数为42。

解这类题目的两个基本原理，是怎样来的呢？现在我们试来考察一下。

（a）83=8×10+3，38=3×10+8

∴83+38=（8×10+3）+（3×10+8）

=8×10+8+3×10+3

=8×（10+1）+3×（10+1）

=8×11+3×11

=（8+3）×11

这式子最后的一段中，8+3正是83的两数字的和，用11去乘它，便得出“11”倍来，但这11是从10加1来的，10是十进记数法的底数。

（b）83-38=（8×10+3）-（3×10+8）

=8×10-8-3×10+3

=8×（10-1）-3×（10-1）

=8×9-3×9

=（8-3）×9

这式子最后的一段中，8-3正是83的两数字的差，用9去乘它，便得出“9”倍来。但这9是从10减去1来的，10是十进记数法的底数。

将上面的证明法，推到一般去，设记数法的底数为r，十位数字为a1，个位数字为a2，则这两位数为a1r+a2，而它的两位数字对调后所成的数为a2r+a1。所以

（a）（a1r+a2）+（a2r+a1）=a1r+a1+a2r+a2

=a1（r+1）+a2（r+1）

=（a1+a2）（r+1）

（b）（a1r+a2）-（a2r+a1）=a1r+a2-a2r-a1

=a1r-a1-a2r+a2