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二四格表独立性检验（第2页）

【例10-11】100名学生先后测验两次，结果如下：

解：此题的数据为相关样本资料，用相关样本的四格表χ2检验公式。

统计假设：两个测验无关联，或测验1中的“对”、“错”在测验2上面没有显著差异。

答：可推论两个测验有关联，或说测验1的“对”、“错”在测验2上有显著差异，或说两测验在“对”、“错”上差异显著。作此推论犯错误的概率为0。01＜p＜0。05。

（三）四格表χ2值的近似校正

当四格表任一格的理论次数小于5时，要用Yates连续性校正公式计算χ2值，这一点与配合度检验相同。下面的四格表连续校正公式，是根据Yates连续性校正公式，将实计次数代入推导而来，它使用起来更加方便。

独立的四格表χ2值校正公式：

相关的四格表χ2值校正公式：

只要四个单元格中有一格的理论次数小于5，就可应用四格表χ2校正公式。当理论次数大于5时，按道理亦应用校正公式计算，但由于样本较大，校正公式计算的结果与不用校正公式所计算的结果十分接近，一般对推论不产生影响，故可用基本公式计算。

用校正公式近似计算χ2，允许四格中有一格的实际次数出现零的情况，校正公式适应较广，可得到与精确概率方法非常近似的结果。

（四）四格表的Fisher精确概率检验方法

在期望次数即理论次数小于5时，可用费舍精确概率检验法，代替χ2检验法。因为四格表χ2检验只是利用χ2近似分布，当样本较大时近似得很好，当样本较小时，近似就不好。这种情况下用χ2校正公式，可以进一步改善近似程度。

如果不用校正公式，可用Fisher精确概率直接计算。在边缘次数固定的情况下，观测数据的精确概率分布为超几何分布。如果两个变量是独立的，当边缘次数保持不变时，各格内的实计数a，b，c，d，任何一特定排列概率p是：

a！读作a的阶乘。

在边缘次数不变的情况下，用上式计算出各格内实计数排列的概率，以及所有其他可能排列的概率和，然后与显著性水平α比较，若p＜α，则说明超过了独立性样本各单元格实计数的取样范围，就可推论说，两样本独立的假设不成立，或说两样本之间存在显著关联。四格表精确概率检验具体方法及计算见下面举例。

在边缘次数不变的情况下，上面的四格表还有下述两种排列：

因为精确概率检验法要求计算在边缘次数不变的情况下，实计数最小的那一格的数字依次变化至零时，所有排列的概率和，即p=p0+p1+p2……上表实计数最小的格内数字为2，依次为1，为0，有两种变化，因此精确概率p=p0+p1+p2，依公式10-11分别计算各种排列的概率为：

p=p0+p1+p2=0。2087，这是单侧概率，若求双侧概率须乘以2，p=0。2087×2=0。4174。双侧概率p值远大于0。05或0。01故差异不显著，或说二因素无关联。

此题亦可用χ2连续性校正公式计算：

查df=1的χ2表，用内插法计算χ2=0。665时的概率为0。439。这个概率值与用精确概率计算的双侧概率值0。4174很接近，可见χ2连续性校正公式的效能与精确概率方法的效能非常接近。

这是四格内首次没有0次时精确概率的计算，若四格表的数据首次就出现0，则只需计算一个p0就可以了，如下表：

双侧概率则为p=0。015×2=0。030，说明有显著差异，或两因素不独立而有关联。此时亦可用χ2连续性校正公式计算：

查df=1的χ2表，内插计算当χ2=4。48时概率为0。036，此值与精确概率计算的双侧概率0。030亦非常接近。

上面的举例说明精确概率检验法与应用χ2连续性校正公式的χ2检验法很近似，除非在临界值α=0。05或0。01，需要精确值时，一般情况下，应用χ2连续性校正公式的χ2检验法亦可得到满意的结果。故当理论次数小于5时，究竟应用哪种检验法，使用者可自己选择。