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第一节 方差分析的基本原理及步骤（第1页）

第一节方差分析的基本原理及步骤

一、方差分析的基本原理：综合的F检验

（一）综合虚无假设与部分虚无假设

方差分析主要处理多于两个以上的平均数之间的差异检验问题。此时，该实验研究就是一个多组设计，需要检验的虚无假设就是“任何一对平均数”之间是否有显著性差异。为此，设定虚无假设为，样本所归属的所有总体的平均数都相等，一般把这一假设称为“综合的虚无假设”（omnibusnullhypothesis）。组间的虚无假设相应的就称为“部分虚无假设”。譬如某个实验设计中有三个实验组，综合虚无假设就可表述为：H0：μ1=μ2=μ3。综合虚无假设和部分虚无假设差异很大。检验综合虚无假设是方差分析的主要任务。如果综合虚无假设被拒绝，紧接着要确定究竟哪两个组之间的平均数之间存在着显著性差异时，需要运用事后检验方法来确定。

（二）方差的可分解性

方差分析依据的基本原理就是方差（或变异）的可加性原则。确切地说，应该是方差的可分解性。作为一种统计方法，方差分析把实验数据的总变异分解为若干个不同来源的分量。不同来源的变异只有当它们可加时，才能保证总变异分解的可能。具体地讲，就是将总平方和分解为几个不同来源的平方和。

比如，假设要探讨噪音对解决数学问题的影响作用。噪音是自变量，划分为三个强度水平：强、中、无。因变量是解决数学问题时产生的错误频数。随机抽取12名被试，再随机把他们分到强、中、无三个实验组。每组被试在接受数学测验时都戴上耳机。强噪音组的被试通过耳机接受100分贝的噪音；中度噪音组的被试接受50分贝的噪音；无噪音组的被试则没有任何噪音。数学测验完毕后，计算每位被试的错误频数。考察这类研究结果的显著性差异就可用方差分析程序问题。实验结果如表9-1所示。

表9-1不同强度噪音下解数学题犯错误频数

图9-1数据变异示意图

把第j组的n个数据的平方和相加，即把这上面这个等式两边平方之后连加：

再利用平均数离差和等于零这一特性，简化得到下式：

然后将K组的这种关系全加起来：

令

则

在上面的公式中，X的下标j表示第几组，i表示某一组中第几个被试，∑的起止标记意思与此相同，本章后面均予以省略。n表示每组的人数，k表示有几种实验处理。其中SS表示平方和（sumofsquare）；SST为总平方和（thesumofsquarestotal），表示实验中产生的总变异；SSB为组间平方和（sumofsquaresbetweengroups），表示由于不同的实验处理而造成的变异；SSW为组内平方和（sumofsquareswithingroup），表示由实验误差（包括个体差异）造成的变异。下标T表示全部（total）的意思，B代表组间（betweengroups）之意，W代表组内（withingroup）之意。

这样，总变异就被分解为组间变异和组内变异两部分。总变异的计算是把所有被试的数值作为一个整体考虑时得到的结果，是用所有被试的因变量的值计算得到的。在计算时，它不区分各个数值究竟来自于哪一种实验条件。组间变异主要指由于接受不同的实验处理而造成的各组之间的变异，可以用两个平均数之间的离差表示。两组平均数的差异越大，组间变异也就越大。组间变异可以看做是组间平均数差异大小的一个指标。组内变异则是由组内各被试因变量的差异范围决定的，主要指由实验误差，或组内被试之间的差异造成的变异。由于被试分组是随机分派，个体差异及实验误差带有随机性质，因而组内变异与组间变异相互独立，可以分解。

在方差分析中，如果实验中各个组内部被试之间存在着不同程度的差异，即接受同样处理的被试在因变量上有量的差别，那么组内平方和就会比较大。如果各独立组每组的方差很大，组内平方和也会很大。组内平方和越大，表明实验误差越大。一般情况，组内平方和不会为0。因为，所有被试不可能在实验前都是相同的，而实验者也不可能绝对同等地处理它们。相反，如果组间平方和越大，组内平方和就会越小，各组平均数之间有显著差异的可能性也越大。样本平均数之间的变异和样本内部的变异相差越大，就说明总体处理中平均数之间的差别也越大。这样，从统计角度考虑，缩减样本内部的变异，使样本平均数真正的变异就能显示出来。这是所有实验研究在设计时的一个关键。

平方和除以自由度所得的样本方差可作为其总体方差的无偏估计。那么，方差分析中组间方差和组内方差就分别表示为：

MSB表示组间方差，一般称作组间均方（meaweengroups），有的书中把它用MST表示，指实验处理（treat）的均方，也就是组间均方；dfB为组间自由度。MSW表示组内方差或称组内均方（meahingroup），有的书中把它用MSE表示，指误差的均方，即组内均方；dfW为组内自由度。

在方差分析中，组间变异与组内变异的比较必须用各自的均方，不能直接比较各自的平方和。因为平方和的大小与项数（即k或n）有关，应该将项数的影响去掉求其均方，因此必须除以各自的自由度。

组间自由度dfB=k-1

组内自由度dfW=k（n-1）

总自由度dfT=nk-1

检验两个方差之间的差异用F检验，因此比较MSB与MSW也要用F检验。在讨论方差齐性检验时，指出利用F检验比较两个样本方差的差异要用双侧检验。在方差分析中关心的是组间均方是否显著大于组内均方，如果组间均方小于组内均方，就无须检验其是否小到显著性水平。因而总是将组间均方放在分子位置，进行单侧检验。即

F为组间变异与组内变异比较得出的一个比率数，如果F＜1，说明数据的总变异中由分组不同所造成的变异只占很小的比例，大部分由实验误差和个体差异所致，也就是说不同的实验处理之间差异不大，或者说实验处理基本上无效。如果F=1，同样说明实验处理之间的差异不够大。当F＞1而且落入F分布的临界区域表明数据的总变异基本上由不同的实验处理所造成，或者说不同的实验处理之间存在着显著差异。