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第18讲 决定概率分布性质的期待值（第3页）

其期待值为：

由于其概率分布图是左右对称的，所以挑担偶人的支点一定在正中间。

图表18-6α＝1、β＝1时贝塔分布的期待值

α＝2、β＝1时，贝塔分布的一次函数为

y＝2x（0≤x≤1）

其期待值为：

此时，如果取23处作为支点，挑担偶人将保持平衡。观察图表18-7，可以理解其原因。

图表18-7α＝2、β＝1时贝塔分布的概率分布图

α＝1、β＝2时，贝塔分布的一次函数为

y＝2（1-x）（0≤x≤1）

其期待值为：

我们可以清楚地看到，该图即为上一个例子左右颠倒后的图像。因此，挑担偶人的平衡方式，也与上一个例子呈左右调转状。

图表18-8α＝1、β＝2时贝塔分布的期待值

α＝2、β＝2时，贝塔分布的二次函数为

y＝6x（1-x）（0≤x≤1）

其期待值为：

该概率分布图为左右对称的抛物线，因此挑担偶人的支点在正中间。

图表18-9α＝2、β＝2时贝塔分布的期待值

最后，α＝4、β＝3时，贝塔分布的函数为

y＝60x3（1-x）2（0≤x≤1）

其期待值为：

图表18-10α＝4、β＝3时贝塔分布的期待值

第18讲·小结

1．期待值，即为通过该数值，可以代表概率分布的数值。

2．期待值的计算方法为：（数值）×（取该值时的概率）的合计

3．无数个期待值的合计值，与实际趋于一致。即，（N次计算出的数值的合计）＝（期待值的N倍）在N的取值足够大的情况下成立。

4．期待值，为挑担人偶型概率分布图保持平衡时的支点。

5．α、β为常数时，贝塔分布的期待值为α（α＋β）

练习题

答案参见此处

（1）已知：中一等奖10000日元的概率为0。01，中二等奖5000日元的概率为0。03，中三等奖100日元的概率为0。1。则奖金的期待值为：

（）×（）＋（）×（）＋（）×（）＝（）日元

（2）贝塔分布y＝1320x7（1-x）3的期待值为：

专栏n何为“主观概率”？

“主观概率”一词并不很常见，但作为关于概率的一种思考方法，有着确切的起源。用数学方法来思考概率问题，是在17世纪法国数学家帕斯卡和费尔马的研究之后才开始的，但“准确性”这一思考方法，在很久之前就已经诞生了。所谓“准确性”，是指“有多大的可信度”“其证据有多大的说服力”等“主观性”的东西。

17世纪，德国数学家莱布尼茨认为，这样的“可信性”“证据能力”，也就是“概率”。同时，莱布尼茨也是一位法学家，他对审判时的推论进行了研究：在审判中，需要用证据来证明被告人的罪行。而此时，被告人有罪一事的“可信性”，就构成了主观概率。

第13讲后的专栏中介绍过20世纪美国的萨维奇，将主观概率设立为明确的数学理论。萨维奇运用的是经济学的传统方法：假设，若事件A发生，可获得1万元的f奖；若事件B发生，可获得1万元的g奖。现在的问题是：你想要哪一种？假设你的回答是f奖。那么经济学上将这个答案记做fg。此时，相比于B，你更相信A的“准确性”，这一点是无疑的。如果将所有的事件都做成上述调查问卷的形式，那么根据你的答案，就可以判断出所有事物的准确性的大小关系，而这个“关系”就可以被定义为“概率”。在刚才的例子中，则显示为p（A）p（B），而这个概率不等式，是根据你的主观判断而得来的。萨维奇主张，像这样得来的便是“主观概率”。