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第8讲 贝叶斯推理的基础 极大似然原理 贝叶斯统计学与内曼－皮尔逊统计学的衔接点（第2页）

“10次中恰好有4次发生该现象的概率”

L＝210×p4×（1-p）6

那么，当概率p发生变化时，概率L的数值又将变为多少呢？下面我们用表计算软件来进行计算。将上述函数用图表8-1来表示，概率p为横轴，概率L的数值为竖轴。

图表8-1概率L的数值

例如，当p＝0。2时，按上述公式210×0。24×0。86计算，得出L约为0。088的结果，即横轴0。2处所对应纵轴的高度。通图看表可知，当p＝0。4时，L达到最大值。那么换言之，将平均值0。4设定为p时，观察到的结果（10次中有4次发生该现象）的概率L也将最大。因此，在通常的统计推理中，我们一般会将p推算为0。4，并将0。4称为p的“极大似然推算量”。这里使用了“极大似然”这一术语，因此，该方法中运用了极大似然原理，也是显而易见的。实际上，由于p＝0。2时的结果L的概率约为0。088，p＝0。4时的结果L的概率约为0。25，所以我们认为，使结果的概率变大的原因p＝0。4是最佳的。

“极大似然估计量”恰好等于平均值，并不仅限于该例。

关于这一点，可以很轻松地证明出来：观察N次，其中发生了x次，此时的极大似然估计量就是x÷N（使用微分法）。总之，极大似然原理与平均值这一统计量密切相关。

在这里，改变概率p，与在现象发生的原因（类别）中设定先验分布，并使之变化的道理是类似的。因而我们可以这样理解：极大似然估计量的思考方式与贝叶斯推理是存在共通之处的。

总之，以极大似然原理为桥梁，可以让我们明白：标准统计学与贝叶斯统计学之间，存在着共通共融的思想。

第8讲·小结

1．极大似然原理是指，采用使观察到的现象的发生概率最大的原因的原理。

2．我们可以认为，贝叶斯统计学中的先验概率是极大似然原理的应用之一。

3．标准统计学的点推理中，采用使观察到的现象的概率最大的函数作为推断值，这也是极大似然原理的应用之一。

4．普通统计学与贝叶斯统计学的共通思想，便是极大似然原理。

练习题

答案参见此处

做投图钉的实验，测试是针头朝上还是平头朝上。投了3次的结果是：有2次针头朝上，1次平头朝上。以极大似然原理为前提，完成下列（）的填空。

设针头朝上的概率为p，则，

（2次针头朝上，1次平头朝上的概率）

＝3p2×（1-p）

之后，判断p＝0。4和p＝0。7，哪一个的可能性更大。

假设p＝0。4，那么

（2次针头朝上，1次平头朝上的概率）

＝3（）2×（）＝（）……①

假设p＝0。7，

（2次针头朝上，1次平头朝上的概率）

＝3（）2×（）＝（）……②

①与②相比，（）更大，依据极大似然原理，如果最终要选择其中一个作为答案的话，则p＝（）较为合适。