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第18讲 决定概率分布性质的期待值（第1页）

第18讲决定概率分布性质的“期待值”

18-1用一个数值来代表概率分布

在贝叶斯推理中，可以计算出各个类别的后验概率。例如，第2讲中，可以根据检查结果呈阳性，计算出“患癌症的后验概率为4。5％”“身体健康的后验概率为95。5％”。如果将患癌症设为数值1、身体健康设为数值0的话，这与在x＝0，1时计算出的概率分布情况相同，因此也可以视为一个问题得到了解决。

但是，第4讲的案例：根据某对夫妇第一胎为女孩的事实，来计算“第二胎也是女孩的后验概率”，这种情况又需要另当别论。第4讲中，将该夫妇生女孩的概率设为“0。4”、“0。5”、“0。6”三种，并计算这三种情况各自的可能性。通过贝叶斯推理得出的结论是：“0。4”的后验概率为27％，“0。5”的后验概率为33％，“0。6”的后验概率为40％。也就是说，设定x＝0。4、0。5、0。6时，计算得出的概率分布分别为0。27、0。33、0。4。但是，上述结论并不能解答“该夫妇第二胎也是女孩的概率”的问题，而是提供一个用数值来回答问题的方法，这个数值就是所谓的“期待值”。第4讲中虽然讲解了期待值的计算方法，但并没有详细说明期待值的含义。现在，我们已经掌握了概率分布的思考方式，所以可以详细地了解一下“期待值”的相关知识。

18-2期待值的计算方法

下面，通过具体事例来讲解，用一个数值来代表概率分布“期待值”的计算方法。首先，第14讲中关于天气的概率模型为例，其基本事件的集合为：

{晴天，阴天，雨天，雪天}

将其概率分布设定为：

p（{晴天}）＝0。3、p（{阴天}）＝0。4、p（{雨天}）＝0。2、p（{雪天}）＝0。1

为了制作概率分布图，在这里需要将基本事件设为数值。设定天气越恶劣，数值越大，即：

晴天→1、阴天→2、雨天→3、雪天→4

概率分布图如图表18-1所示。

图表18-1天气的概率分布图

该图表体现了各种天气出现的频率。我们想要了解的是“该地区的天气情况大致如何”的问题，即“如何用一个数值来表示该地区的天气”。这个数值也就是期待值，计算方法如下：

（概率分布的期待值）＝（数值）×（取该数值的概率）的合计

如果将该公式运用到上述天气概率分布的具体例子中，则为：

（天气的概率分布的期待值）＝1×0。3＋2×0。4＋3×0。2＋4×0。1＝2。1

具体到概率分布图18-1中，即“横轴数值与纵轴数值乘积的合计”。

如果使用语言来解释得到的结果数值2。1的话，那就是“该地区的天气从阴天轻微偏向雨天”。

在期待值的计算中，（数值）×（得到该数值的概率）这一乘法运算意味着“加权”。例如，数值“3”表示“雨天”，其发生比率占整体的0。2，所以“将3的影响力弱化至0。2倍后再相加”，这种计算方式被称为“加权平均”。

18-3长期来看，期待值是与实际情况相符的

首先，对期待值的数值含义进行说明。

就上一节中天气的例子来思考，如果设定每天的天气为：

晴天→1、阴天→2、雨天→3、雪天→4

然后进行N天的长期记录，那么，根据概率为：

p（{晴天}）＝0。3、p（{阴天}）＝0。4、p（{雨天}）＝0。2、p（{雪天}）＝0。1

可以得知，晴天大概有0。3N天、阴天大概有0。4N天、雨天大概有0。2N天、雪天大概有0。1N天。因此，记录下的数值之和合计约为：

1×0。3N＋2×0。4N＋3×0。2N＋4×0。1N

＝（1×0。3＋2×0。4＋3×0。2＋4×0。1）N

＝2。1N

回想一下之前计算出的期待值也是2。1。因此可以得出：

（实际点数的N天量的合计）≈（N个期待值的合计）

也就是说，“如果每天都对期待值进行统计，那么长期来看，结果与实际情况是基本保持一致的”。这意味着“从长期的角度来看，期待值的合计结果与实际情况一致”。以上就是针对“期待值”含义的最直观的说明。

18-4期待值可以作为使概率分布图保持平衡的支点

以下，针对如何理解期待值的图像进行说明。结论是，期待值可以作为使概率分布图保持平衡的支点。可以使用瓦楞纸板支等制成图表18-2所示的具体天气概率分布图的立体模型，类似两臂平伸姿势的挑担偶人玩具。此时，如果将表示期待值的点作为支点，左右两侧将保持平衡，模型整体会处于稳定状态。

图表18-2期待值处为平衡支点

能够保持平衡的原因如下：