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六导数的几何表示法（第1页）

六、导数的几何表示法

“无限小”的计算法，这真可以算得是一件宝货，你在数学的园地中走去走来，差不多都可以见着它。

在几何的院落里，特别可以看出它是怎样地玲珑。老实说，几何的院落现在这般地繁荣美丽，受它的恩赐很不少。牛顿把它发现了，莱布尼茨也把它发现了。但是他们俩并没有打过招呼，所以各人走的路也不同。莱布尼茨是在几何的院落里玩得兴致很浓，想在那里面加上些点缀，为了要解决一个极有趣味的问题，才发现了“无限小”这宝货，而且将它尽量地玩弄。

你在几何中，“切线”这一个名字，总不知碰见它过多少次了。所谓切线，照通常的说法，就是和一条曲线除了一点相挨着，再也不会和它相碰的那样一条直线。莱布尼茨在几何的园地中，津津有味地所要解决的问题就是：在任意一条曲线上的随便一点，要引一根切线的方法。有些曲线，比如圆或椭圆，在它们的上面随便一点，要引一根切线，这个方法学过几何的人都已知道了的。但是对于别的曲线，依了样却不能就把那葫芦画得出来。究竟一般的方法是怎样的呢？在几何的院落里，曾有许多人想找出打开这道门的锁匙，但都被它逃走了！

和莱布尼茨同时游赏数学的园地，而且在里面去加上些建筑或装饰的人，曾经找到过一条适当而且开阔的路去探寻各种曲线的堂奥：笛卡尔就在代数和几何两座院落当中筑了一条通路，这便是挂着“解析几何”这块牌子的那些地方。

依了解析几何的方法，数学的关系可用几何的图形表示出来，而一条曲线也可以用等式的形式去记录它。这个方法真有点神异，是不是？但是仔细追根究底，却非常简单，到了现在，我们看着简直是很平淡无奇了。然而，这条道路若不是像笛卡尔那样的才能是建筑不起来的！

要说明这个方法的用场，我们也先来举一个顶顶简单的例子。

你取一页白色的纸，钉在桌面上，并且预备好一把尺子、一块三角板、一支铅笔和一条橡皮。你用你的铅笔在那纸上作一个小黑点，马上就用橡皮将它擦去。你有什么方法能够将那个黑点的位置再找出来吗？你真将它擦到一点痕迹都不留，无论如何你再也没法去找回它来了。所以在一页纸上，要定一个点的位置，这种方法非常重要。

要定出一个点在纸面的位置的方法，实在不止一个，还是选一个容易明白的吧。你用三角板和铅笔，在纸上画一条水平线OH和一条垂直线OV。假如P是那位置应当确定的点，你由P引两条直线，一条水平的和一条垂直的（图中的虚线），这两条直线和前面画的两条，比如说相交在a点和b点，你就用尺子去量Oa和Ob。

设若量了出来Oa等于3厘米，Ob等于4厘米。

现在你把所画的P点和那两条虚线都用橡皮擦了去，只留下用作标准的两条直线OH和OV，这样你只需注意到Oa和Ob两距离。P点就可以很容易地再找出来。实际就是这样做法：从O点起在水平线OH上量出3厘米的一点a，再还是从O点起，在垂直线OV上量出4厘米的一点b。跟着，从a画一条垂直线，又从b画一条水平线。你是已经知道的，这两条线会相碰着，这相碰的一点，便是你所再要找的P点。

这个方法是比较简便的，但并不是独家经理的唯一无二[7]的方法。这里用到的是两个数，一个垂直距离和一个水平距离。但另外选两个适当的数，也可以把平面上一点的位置确定，不过别的方法都没这般平易罢了。

你在平面几何上曾经读过一条定理，说不平行的两条直线若不是全相重合就只能有一个交点，你总还记得吧！就因这个缘故，所以我们用一条垂直线和一条水平线，所能决定的点只有一个。依了同样的方法，用距O点不同的垂直线和水平线便可决定许多位置不同的点。你不相信吗？就用你的三角板和铅笔，胡乱画几条垂直线和水平线来看一看。

再请你回忆起平面几何上的一条定理来，那就是通过两个定点必能够画一条直线，而且也只能够画一条。所以，倘若你先在纸上画一条直线，只任意留下了两点，便将全线擦去，你若要再找出原来的那条直线，只需用你的尺子和铅笔将所留的两点连起来那就成了。你试试看，前后两条直线的位置有什么不同的地方没有？

前面说的只是点的位置，现在，我们更进一步来研究任意一段曲线，或是BC弧，我们也能够将它表示出来吗？

为了方便起见我和你先约束好：在水平线上从O起量出的距离我们用x代表，在垂直线上从O起量出的距离用y代表。这么一来，设若那段曲线上有一点P，从P向着OH和OV各画一条垂线，那么，无论P点在曲线上的什么地方，x和y都一定各有一个相应于这P点的位置的值。在BC一段曲线上，设想有一点P，从P向OH画一条垂线Pa，设若它和OH相交在a点；又从P向OV也画一条垂线Pb，设若它和OV相交在b点，Oa和Ob便是x和y相应于P点的值。你试在BC上另外取一点Q，依照这方法做起来，就可以看出x和y的值便不能同是Oa和Ob了。

接连在曲线BC上面，取一串的点，比如说是P1、P2、P3……从各点向OH和OV都画垂线，这就得出相应于P1、P2、P3……这些点的位置的x和y的值，x1、x2、x3……和y1、y2、y3……来。x的一串值x1、x2、x3……各都和y的一串值y1、y2、y3……中的一个相应。这些是你从图上一眼就会看得明白的。

倘若已将x和y的各自的一串值都画出，曲线BC的位置大体也就决定了。所以，实际上你若把P1、P2、P3……这一串点留着，而将曲线BC擦去，和前面画直线的一般，你就有方法能够再找出它来。因为x的每一个值，都相应于y的一串值中的一个，所以要决定曲线上的一点，我们就在OH上从O起取一段等于x的值，又在OV上从O起取一段等于相应于它的y的值。那么，这一点，就和前面的例子所说过的一般，便可完全决定。跟着，用同样的方法，将x的一串值和y的一串值都画出来，P1、P2、P3……这一串的点也就全然决定，曲线BC同样地也可将它决定了。

不过，这却要小心，前面我们说过，有了两点就可决定一条直线。在平面几何学上你还学过一条定理，有不在一条直线上的三点就可以决定一个圆周。但是一般的曲线，要有多少点才能将它决定，那是谁也回答不上来的，不是吗？曲线是弯来弯去的，没有画出来的时候哪个能完全明白它是怎样的弯法呢！所以，在实用上，真要由许多点来决定一条曲线，必须要画出很多的互相挨得很近的点，那条曲线才可以大体决定。并且这还须注意，无论怎样，倘然没有别的方法加以证明，你这样画出的总只是一条相近的曲线。

话说回头去，我们记好，以前所讲过的数学的函数的定义，把它来和这里所说的表示x和y的一串值的方法对照一番，这是有趣极了！我们既说，每一个x的值，都相应于y的一串值中的一个。那好，我们不是也就可以干干脆脆地说y是x的函数吗？要是掉过枪法，我们也就可以说x是y的函数。从这一点看起来，函数有些是可以用几何的方法表示的。

比如：y是x的函数，用几何的方法来表示就是这样：有一条曲线BC，又决定了x的大小，设若x等于Oa，我们实际上就可决定相当于它的y的值是Ob。

所以从解析数学这边看来，一个数学的函数是代表一条曲线的。但掉过头从几何那边看来，一条曲线就表示一个数学的函数。两边简直是合则双美的玩意儿。

要反过来说，也是非常容易的。假如有一个数学的函数：

y=f（x）

我们很能够给这函数一个几何的说明。

还是先画两条互相垂直的直线OH和OV。在水平线OH上面，我们取出x的一串值，而在垂直线OV上面，我们取出y的一串值。从各点都画OH或OV的垂线，从x和y的两两相应的值所画出的两垂线都有一个交点。这些点总集起来就决定了一条曲线，而且这条曲线就表示出了我们的函数。